Neuer Sonderforschungsbereich zu mathematischer Grundlagenforschung

DFG fördert Transregio 326 „Geometrie und Arithmetik uniformisierter Strukturen“

2021/05/25

Die Erforschung komplexer geometrischer und arithmetischer Objekte ist das Ziel des neuen Sonderforschungsbereichs Transregio 326 (TRR 326), den die Goethe-Universität Frankfurt koordiniert und an dem die TU Darmstadt wesentlich beteiligt ist; zu den weiteren Partnern zählt auch die Johannes Gutenberg-Universität Mainz. Wie die Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) mitteilte, wird der TRR 326 in den kommenden vier Jahren mit rund 9,2 Millionen Euro gefördert.

Über die mathematische Technik der Uniformisierung können komplizierte geometrische Räume (hier: die j-Invariante als automorphe Funktion auf der Uniformisierung des Modulraums elliptischer Kurven) als hoch symmetrische geometrische Muster dargestellt werden.

„Dieser erneute Erfolg stärkt die Allianz der Rhein-Main-Universitäten Frankfurt, Mainz und Darmstadt und zeigt die Exzellenz der drei Forschungsstandorte, die sehr gut vernetzt sind“, sagte die Vizepräsidentin für Forschung und wissenschaftlichen Nachwuchs der TU Darmstadt, Professorin Barbara Albert. „Die Zahl der von der Deutschen Forschungsgemeinschaft geförderten gemeinsamen Sonderforschungsbereiche in der RMU, die von einer der drei Partneruniversitäten koordiniert werden, hat sich seit 2015 mehr als verdoppelt“, hob Albert hervor.

Dieser erneute Erfolg stärkt die Allianz der Rhein-Main-Universitäten Frankfurt, Mainz und Darmstadt und zeigt die Exzellenz der drei Forschungsstandorte, die sehr gut vernetzt sind.

Die mathematische Erkundung komplizierter geometrischer und arithmetischer Räume mithilfe der Uniformisierung ist das Forschungsthema des TRR 326 „Geometry and Arithmetic of Uniformized Structures – GAUS“. Erfolgreich beantragt haben den TRR 326 neben der koordinierenden Goethe-Universität Frankfurt die Technische Universität Darmstadt und die Universität Heidelberg, assoziierte Institutionen sind die Johannes-Gutenberg-Universität Mainz und die Technische Universität München.

Das Konzept der Uniformisierung geht auf Ideen von Felix Klein und Henri Poincaré aus dem 19. Jahrhundert zurück und sucht nach einer einheitlichen Beschreibung bestimmter geometrischer Objekte. Ein sehr einfaches Beispiel für einen uniformisierten geometrischen Raum findet sich im Spielzeug Slinky, einer Metallspirale, die in „Purzelbäumen“ eine Treppe hinunterlaufen“ kann. Zusammengepresst hat sie – von oben gesehen – die Geometrie eines Kreises. Dieser Kreis wird uniformisiert, indem die Metallspirale auseinandergezogen wird. Besonders einfach wird es, wenn die Spirale komplett entrollt geometrisch nur noch ein einfacher Draht ist. Damit die Information des Slinky erhalten bleibt, ist jede Spiralwindung auf dem Draht mit einem Farbtupfer markiert, wodurch der Draht eine Verschiebungssymmetrie erhält (man wechselt die Etage in der Spirale). Ein global komplizierter geometrischer Raum (im Beispiel der Kreis des Slinky) wird durch einen deutlich einfacheren Raum ersetzt (hier eine Gerade), ohne die lokale Struktur zu verändern. Die ursprüngliche Komplexität wird dabei durch innere Symmetrien (im Beispiel veranschaulicht durch periodische Markierungen) des einfacheren Raums beschrieben.

Uniformisierung sehr komplizierter geometrischer Räume

Professor Jan Hendrik Bruinier von der TU Darmstadt ist einer der Co-Sprecher des neuen Transregios 326.

Beim TRR 326 GAUS befassen sich Mathematikerinnen und Mathematiker mit der Uniformisierung sehr komplizierter geometrischer Räume – wobei dies moderne geometrische Konzepte umfasst, insbesondere tropische und p-adische Geometrien – und mit analogen Anwendungen der Uniformisierungstechnik auch bei zahlentheoretischen Fragegestellungen. Die Forscherinnen und Forscher suchen nach grundsätzlichen Zusammenhängen, etwa zu Modulräumen, automorphen Formen, Galoisdarstellungen oder kohomologischen Strukturen.

Professor Jakob Stix, Mathematiker an der Goethe-Universität und GAUS-Sprecher, meint: „Mit dem SFB-Transregio GAUS knüpfen wir an die überaus erfolgreiche Zusammenarbeit von TU Darmstadt und Goethe-Universität im LOEWE-Schwerpunkt ‚Uniformisierte Strukturen in Arithmetik und Geometrie‘ sowie in der DFG-Forschergruppe ‚Symmetrie, Geometrie und Arithmetik‘ der Universität Heidelberg und der TU Darmstadt an. Ich freue mich sehr auf die gemeinsame Forschung mit so vielen herausragenden Kolleginnen und Kollegen.“

„Wir Forschende der TU Darmstadt werden in die Projekte des Transregio insbesondere unsere starke Expertise im Bereich der automorphen Formen und der Modulräume einbringen“, sagt der Mathematik-Professor Jan Hendrik Bruinier. Er ist Co-Sprecher von GAUS – ebenso wie Professor Alexander Schmidt von der Universität Heidelberg.

GU/feu